Descompunerea in produs de factori prim

Principii de baza de rezolvare a unei ecuatii de gradul al II-lea

Cele 3 metode de rezolvare a unei ecuatii de gardul al II-lea

Metoda spargerii ecuatiei de gradul al II-lea

Teorema lui Cayle-Hamilton

Ecuatia de gradul al II-lea

Compararea și ordonarea numerelor naturale

Pentru orice două numere naturale a și b există una și numai una dintre următoarele relații:

a < b
a = b
a > b
pentru orice a și b aparține lui N avem următoarele relații:

a mai mic sau egal cu b dacă și numai dacă a < b și a=b
a mai mare sau egal cu b dacă și numai dacă a>b și a=b

Regula semnelor

Regula semnelor la ADUNARE ȘI SCĂDERE

1. - 5 + 6 = 1 , adică 6-5=1
2. - 6 - 5 = - 11 adică 6+5=11 - regula este că se dă semnul celui mai mare în cazul nostru - 11.
3. 2 - 3 = - 1 adică 3-2=1 -se dă semnul celui mai mare.Cifra 3 are semnul minus și se va da semnul cifrei 3.
4. 7-2=5
5. -1+7=6
Regula semnelor la ÎNMULȚIRE ȘI LA ÎMPĂRȚIRE.

Înmulțirea

- x + = -
+ x - = -
- x - = +
+ x + = +

Împărțirea

- : + = -
+ : - = -
+ : + = +
- : - = +

Operații cu numerele naturale

1. ADUNAREA

termen + termen = sumă
proprietățile adunării numerelor naturale:
a+b = b+a - comutativitate
a+(b+c) = (a+b)+c - asociativitate
a+0 = 0+a - elementul neutru.
oricare ar fi a,b,c, aparțin lui N, iar numărul 0 este element neutru față de adunare.

2. SCĂDEREA

descăzut - scăzător = diferență

a - b = c a,b aparțin lui N, iar a mai mare sau egal față de b
Proba scăderii se face astfel:
a = b + c

3. ÎNMULȚIREA

deînmulțitul x înmulțitorul = produs
Observație: În loc de semnul x, care simbolizează înmulțirea se mai folosește semnul ., punct.
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale:

a x b = b x a - comutativitate
a x ( b x c) = (a x b) x c - asociativitate
a x 1 = 1 x a - elementul neutru față de înmulțire.
a x 0 = 0 x a = 0
a x ( b + c )= a x b + a x c - distributivitatea înmulțirii față de adunare
a x ( b - c )= a x b - a x c - distributivitatea înmulțirii față de scădere. b>c

4. ÎMPĂRȚIREA

deîmpărțit : împărțitor = cât

a : b = c oricare ar fi a,b aparțin lui N, iar b diferit de a
Proba împărțirii: a = b x c
Observație: 0 : b = 0, unde b este diferit de zero și b aparține lui N.

TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST

Oricare ar fi numerele naturale a și b , iar b diferit de zero, numite deîmpărțit și respectiv, împărțitor, există două numere naturale q și r , numite cât și rest, astfel încât rezultă următoarea formulă matematică:
a = b x q + r, r < b
Numerele q și r, determinate în aceste condiții, sunt unice.

Mulțimea numerelor naturale

Simbolurile 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 se numesc cifre.
Numerele scrise astfel0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,11,...,n,...,n+1 formează șirul numerelor naturale.
observație. Șirul numerelor naturale este infinit.
N = {0, 1,2,3,4,...,n} - mulțimea numerelor naturale.
N* ={1,2,3,4,5,...,n} - mulțimea numerelor naturale nenule. N\ {0}.

Numerele naturale sunt:
1. Numerele naturale pare. Numere care se împart exact la 2, se notează n=2k, k aparține lui N
2. Numerele naturale impare. Numere care nu se împart exact la 2, se notează
n=2k+1, k aparține lui N.

Partea întreagă și partea fracționară.

Noţiuni de bază : Partea întreagă a unui număr
Orice număr real este format dintr-o parte întreagă şi o parte zecimală.
Partea întreagă a lui x se notează cu [x]. Partea fracţionară a lui x se notează cu {x}.
x = [x] + {x}
Partea întreagă a oricărui număr este un număr întreg.
Partea fracţionară este întodeauna cuprinsă între 0 şi 1.
Poate fi 0 dar nu poate fi 1.
Adică,
{x} aparţine intervalului [0;1),
Exemple:
- pentru numere naturale:
Exemplul 1:
x = 0
[0] = 0
{0} = 0
0 = 0 + 0
Exemplul 2:
x = 7
[7] = 7
{7} = 0
7 = 7 + 0
- pentru numere întregi
Exemplul 3:
x = -7
[-7] = -7
{-7} = 0
-7 = -7 + 0
- pentru numere raţionale
Exemplul 4:
x = 7,9
[7,9] = 7
{7,9} = 0,9
7,9 = 7 + 0,9

x = -7,9
[-7,9] = -8
{-7,9} = 0,1
-7,9 = -8 + 0,1

Cum calculăm partea întreagă pentru numere cu virgulă?
Partea întreagă a lui x este numărul întreg aflat pe axă imediat la stânga numărului x.
Dacă x este între n şi n + 1, unde n este număr întreg, atunci
[x] = n
După ce am identificat partea întreagă, parte zecimală o calculăm cu formula:
{x} = x - [x]
- pentru numere iraţionale
Exemplul 6:
x = PI = 3,14…
[PI] = 3
{PI} = 0,14…
3,14… = 3 + 0,14…
Exemplul 7:
x = radical din 7
Ideea este să găsim două numere întregi consecutive care să-l “încadreze” pe radical din 7.
Adică n < radical din 7 < n + 1.
Ridicând la pătrat membru cu membru, obţinem:
n^2 < 7 < (n +1)^2
Cum 4 < 7 < 9, rezultă că n^2 = 4, deci n = 2.
Aşadar,
[radical din 7] = 2
{radical din 7} = (radical din 7) - 2
radical din 7 = 2 + (radical din 7) - 2
Exemplul 8: Numere subunitare, exprimate în formă zecimală
Fie x = 0,7
[0,7] = 0
{0,7} = 0,7
0,7 = 0 + 0,7
Exemplul 9: Numere subunitare, exprimate în formă ordinară
Fie x = 7/8
[7/8] = 0
{7/8} = 7/8
7/8 = 0 + 7/8
Nu este obligatoriu ca partea zecimală să fie scrisă sub formă de fracţie zecimală. Partea zecimală înseamnă, pur si simplu, ce rămâne din număr după ce se decupează partea întreagă.
Seamană cu scoarţa unui copac, care se obţine din copac după ce se elimină trunchiul.